Задача 65324

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

По свистку учителя физкультуры все 10 мальчиков и 7 девочек выстроились в шеренгу в случайном порядке – кто куда успел.
Найдите математическое ожидание величины "Число девочек, стоящих левее всех мальчиков".

Решение

  Добавим мысленно еще одного мальчика, поставив его правее всех. Тогда вся шеренга разделилась на 11 групп, каждая из которых заканчивается мальчиком. Наименьшая группа состоит из одного мальчика, наибольшая может состоять из 8 человек – 7 девочек и одного мальчика.
  Пронумеруем эти группы слева направо и назовём ξ_k численность k-й группы. Нас интересует ожидаемая численность первой группы, то есть Eξ₁.
  Сумма всех величин ξ_k равна 18 (17 настоящих школьников и один мысленный мальчик):  ξ₁ + ξ₂ + ... + ξ₁₁ = 18   (*).
  В силу случайности все величины ξ_k распределены одинаково, поэтому их ожидания равны между собой и равны Eξ₁.
  Переходя в равенстве (*) к ожиданиям, получим:  11Eξ₁ = 18,  откуда  Eξ₁ = ¹⁸/₁₁.  Ожидаемое число девочек на единицу меньше: ⁷/₁₁.

Ответ

⁷/₁₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2011
задача
Номер	16