Задача 65325

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Производная и экстремумы ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. Каждую минуту Илья отрубает одну голову Змею. Пусть x – живучесть Змея  (x > 0).  Вероятность p_s того, что на месте отрубленной головы вырастет s новых голов  (s = 0, 1, 2),  равна    В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получился следующий вектор:  K = (1, 2, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2).  Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность вектора K наибольшая.

Решение

  В силу взаимной независимости отрастания голов (число отросших голов зависит только от живучести, но не от предыдущих событий) вероятность вектора K равна    Нужно найти точку, в которой эта функция принимает наибольшее значение на луче  (0, +∞).
 
  Приравнивая производную к нулю, получаем единственный положительный корень  x₀ = .  Поскольку  P(x) ≥ 0,  P(0) = 0  и  P(x) → 0
при  x → ∞,  то x₀ – единственная точка максимума.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2011
задача
Номер	17