|
|
 |
Условие
Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.
Решение
Неважно, какое время будет затрачено. Поэтому для простоты будем
считать, что организмы делятся или погибают каждую секунду, но строго по одному. Когда с одним из них что-то происходит, остальные терпеливо ждут своей очереди. Сделав такое предположение, мы получаем стандартную задачу случайного блуждания: каждую секунду организмов становится либо на один больше (с вероятностью p = 0,6), либо на один меньше (с вероятностью q = 0,4), чем было.
Число организмов в некоторый момент будем называть состоянием популяции. Пусть x – вероятность того, что за несколько шагов число организмов уменьшится на 1.
Вначале популяция находится в состоянии 1, и нас интересует вероятность перехода 1 → 0, то есть как раз значение x.
Популяция может прийти в состояние 0 двумя способами.
1) В первую секунду единственный имеющийся организм погибает. Вероятность этого q.
2) В первую секунду единственный организм делится, и популяция переходит в состояние 2. Вероятность этого события p. Дальнейший переход
2 → 0 имеет вероятность x², поскольку он состоит из двух независимых переходов 2 → 1 и 1 →
0, каждый из которых имеет вероятность x.
Отсюда x = 1 или x = q/p. Нужно выяснить, какой из корней посторонний. Рассмотрим x как функцию от p. Изобразив в системе координат pOx линии x(p) = 1 и x(p) = 1–p/p, воспользуемся следующими соображениями.
1) Функция x(p) непрерывна.
2) x(p) ≤ 1.
3) x(1) = 0 – если организмы не погибают, а только делятся, то популяция с достоверностью не погибнет никогда.
Этим трём условиям, удовлетворяет функция
Ответ
⅔.
