Задача 65347

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Условная вероятность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Будем считать, что рождение девочки и мальчика равновероятны. Известно, что в некоторой семье двое детей.
  а) Какова вероятность того, что из них один мальчик и одна девочка?
  б) Дополнительно известно, что один из детей – мальчик. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?
  в) Дополнительно известно, что мальчик родился в понедельник. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?

Решение

  а) Дети появляются в некоторой последовательности (ММ, МД, ДМ или ДД). Все последовательности равновозможны, и вероятность каждой ¼. Условию "Мальчик и девочка" благоприятствуют два исхода МД и ДМ, значит, вероятность этого равна  2 : 4 = ½.

  б) Из четырёх последовательностей остаются три равновозможных: ММ, МД и ДМ. Следовательно, теперь вероятность события "мальчик и девочка" равна ⅔.

  в) Введём дополнительно в рассмотрение дни недели: М_П – мальчик, родившийся в понедельник, М_И – мальчик, родившийся в другой день недели. По условию возможны пять последовательностей: М_ПМ_П, М_ПМ_И, М_ИМ_П, М_ПД, ДМ_П.
  Учитывая, что вероятность родиться в понедельник равна ¹/₇, а в другой день – ⁶/₇, находим, что суммарная вероятность возможных последовательностей равна  
  Из этих последовательностей только две: М_ПД и ДМ_П благоприятствуют событию "мальчик и девочка". Их суммарная вероятность равна  ¼·²/₇.
  Следовательно, условная вероятность события "мальчик и девочка" при условии "есть мальчик, родившийся в понедельник" равна  ²/₇ : ²⁷/₄₉ = ¹⁴/₂₇.

Ответ

а) ½;  б) ⅔;  в) ¹⁴/₂₇.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2013
задача
Номер	7