|
|
 |
Условие
На столе разложена колода игральных карт (например, в ряд). Поверх каждой карты положили карту другой колоды. Некоторые карты, возможно, совпали. Найдите:
а) математическое ожидание числа совпадений;
б) дисперсию числа совпадений.
Решение
а) Пронумеруем пары от 1 до N (мы не знаем, сколько их) в том порядке, в каком они лежат на столе. Пусть индикатор Ik равен 1, если в k-й паре оказались две одинаковые карты, и 0, если в k-й
паре карты не одинаковы. Очевидно, P(Ik = 1) = 1/N. Значит, EIk
= 1/N.
Пусть S – число пар с совпадением. Оно равно I1 + I2 + ... + IN. Следовательно, ES = EI1 + EI2
+ ... + EIN = N·1/N = 1.
б) , где в скобках стоит сумма попарных произведений всевозможных различных индикаторов.
Очевидно, поэтому
.
Теперь рассмотрим величину IjIk. Она равна 1, если карты совпали и в j-й, и в k-й паре. В j-й
паре карты совпадают с вероятностью 1/N.
Если это произошло, то вероятность совпадения карт в k-й
паре равна 1/N–1. Поэтому P(IjIk = 1) = 1/N(N–1) Во всех остальных случаях IjIk = 0. Следовательно, E(IjIk) = 1/N(N–1).
Значит, ES² = N·1/N + N(N – 1)·1/N(N–1) = 1 + 1 = 2, и, следовательно, DS = ES² – (ES)² = 2 – 1 = 1.
Ответ
а) 1; б) 1.
Замечания
Здесь используется фабула хорошо известной задачи о совпадениях, но вопрос стоит не о вероятности, а об ожидании и дисперсии числа совпадений. Как ни странно, решить эту задачу легче, чем найти вероятность. Отметим, что ни ожидание, ни дисперсия числа совпадений не зависят от количества карт в колоде.
