|
|
 |
Условие
Окружность, проходящая через вершины A, B и точку пересечения высот треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC во внутренних точках.
Докажите, что 60° < ∠C < 90°.
Решение 1
Пусть A' и B' – точки пересечения окружности со сторонами BC и AC соответственно. Тогда угол C равен полуразности дуг AB и A'B'. Поскольку на дугу AB опирается угол между высотами треугольника, равный 180° – ∠C, то 180° – ∠C > ∠C, то есть ∠C < 90°.
С другой стороны, угол C больше угла между касательными к окружности в точках A и B, который по теореме о вписанном и центральном углах равен
180° – 2∠C. Следовательно, ∠C > 60°.
Решение 2
Пусть угол C не меньше прямого, тогда H лежит вне треугольника или совпадает с C. В обоих случаях точки пересечения не лежат внутри сторон.
Поскольку ∠AA'B = ∠BB'A = ∠AHB= 180° – ∠C, то ∠AA'C = ∠BB'C = ∠C. Но эти углы больше углов A и B как внешние углы треугольников AA'B и BB'A. Значит, C – наибольший угол треугольника ABC, то есть он больше 60°.
