Задача 65377

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Докажите, что всякий треугольник площади 1 можно накрыть равнобедренным треугольником площади менее  .

Решение

Пусть ABC – данный треугольник  (AB ≥ AC ≥ BC),  CH – его высота, точка A' симметрична A относительно H, а точка B' симметрична B относительно биссектрисы угла A (см. рис.). Тогда ACA' и ABB' – равнобедренные треугольники, накрывающие ABC, причём     а     Произведение этих отношений есть  2^AH/_AC < 2,  значит, какое-то из них меньше  .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
задача
Класс	10
задача
Номер	10.2