Задача 65381

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Соколов А.

Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Решение

  Рассмотрим треугольник A'B'C', образованный отражениями точки O относительно сторон треугольника ABC. Его вершины – центры описанных окружностей треугольников HBC, HCA и HAB; значит, его стороны – серединные перпендикуляры к AH, BH и CH, и они параллельны сторонам треугольника ABC. Значит, O – ортоцентр треугольника A'B'C' (см. рис.).
  С другой стороны, поскольку стороны AH и A₁O вписанного четырёхугольника AHOA₁ параллельны, прямые AA₁ и OH симметричны относительно серединного перпендикуляра к AH, то есть относительно B'C'; аналогичное утверждение выполняется для BB₁ и CC₁. Согласно задаче 55657 эти три прямые пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
задача
Класс	10
задача
Номер	10.6