Задача 65390

Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

Решение

  Отметим на плоскости точки  A(0, 0),  A₁(0, 10),  B(9, 6),  B₁(4, 9),  C(5, 5),  D(15, 5)  и  B₂(9, 4)  (рис. слева). Нетрудно убедиться, что точки B₁ и B₂ симметричны относительно AC, а точки B₂ и B, а также A и A₁ – относительно CD. Поэтому фигура, составленная из треугольников AB₁C, ACD, CBD и BA₁D, представляет собой развёртку вырожденного тетраэдра ACDB₂ (он вырожден потому, что  ∠A₁DB + ∠BDC = ∠CDA).

  Чтобы устранить эту “неприятность”, чуть сдвинем точку C "влево-вниз" вдоль серединного перпендикуляра к отрезку BB₁ (рис. справа). Для полученной точки C₁ сохраняется равенство  B₁C₁ = BC₁,  но теперь для углов  α = ∠A₁DB,  β = ∠BDC₁  и  γ = ∠C₁DA  выполнены неравенства треугольника:  α + β > γ  по построению, а неравенства  α + γ > β  и  γ + β > α  сохраняются ввиду малости сдвига. Поэтому фигура, составленная из треугольников A₁DB, BDC₁ и C₁DA, представляет собой развёртку трёхгранного угла с вершиной D, то есть тетраэдра без одной грани. Недостающая грань равна треугольнику AB₁C₁, поэтому фигура AB₁C₁BA₁DB на рис. справа – развёртка тетраэдра. Как видим, она самопересекается.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5