Задача 65407

Темы:    [ Соображения непрерывности ] [ Разложение на множители ] [ Обыкновенные дроби ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Быстриков А.

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, a₄, ... есть числа  
Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.

Решение

a₃ – a₂ = a₂ – a₁ = d  – разность прогрессии.     и     – целые числа, значит,  a₃ – a₁ = 2d  целое, а d целое или полуцелое. Поскольку  2a₁ + d = a₁ + a₂  – целое число, возможны три случая: a₁ и d (а значит, и все члены прогрессии) целые; d целое, a₁ полуцелое; d полуцелое, a₁ – дробь со знаменателем 4. Но в последних двух случаях ясно, что знаменатель каждого члена тот же, что у a₁. С другой стороны, знаменатель    больше знаменателя a₁. Противоречие.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4