|
|
 |
Условие
На плоскости даны парабола y = x² и окружность, имеющие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке A совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают?
Решение
Вот контрпример. Рассмотрим окружность (x – a)² + (y – b)² – r² = 0, соответствующую условию для точек A(1, 1) и B(–3, 9) (такая окружность существует: её центр находится на пересечении нормали к параболе в точке A и серединного перпендикуляра к отрезку AB).
При подстановке y = x² в уравнение окружности мы получим уравнение 4-й степени, не содержащее члена 3-й степени, поэтому сумма корней этого уравнения равна нулю. Мы знаем три корня: x1,2 = 1 (в силу касания этот корень кратный), x3 = –3. Отсюда x4 = 1, то есть в точке B касания нет (корень x3 не кратный), и других точек пересечения также нет.
Ответ
Не обязательно.
Замечания
1. Для сомневающихся. Докажем, что если касательные к окружности f(x, y) = 0 и параболе y = x² в точке совпадают, то x0 – кратный корень уравнения f(x, x²) = 0.
Заметим, что f(x, y) – f(x, z) делится на y – z (это видно, например, из формулы разности квадратов). Пусть y = g(x) – уравнение общей касательной (g – линейная функция). Эта касательная имеет как с окружностью, так и с параболой единственную общую точку M, поэтому x0 – кратный корень квадратных уравнений x² – g(x) = 0 и f(x, g(x)) = 0.
f(x, x²) = f(x, g(x)) + (f(x, x²) – f(x, g(x))). Первое слагаемое делится на (x – x0)², второе – на x² – g(x), что в свою очередь делится на (x – x0)². Следовательно, f(x, x²) делится на (x – x0)².
2. 7 баллов.
