Задача 65419

Темы:    [ Математическая логика (прочее) ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

В зоопарке жили 200 попугаев. Однажды они по очереди сделали по одному заявлению. Начиная со второго, все заявления были "Среди сделанных ранее заявлений ложных – более 70%". Сколько всего ложных заявлений сделали попугаи?

Решение

  Заметим, что если первое утверждение было истинным, то второе будет ложным, и наоборот, если первое утверждение было ложным, то второе будет истинным. Поскольку истинность следующего утверждения зависит лишь от количества ложных утверждений среди предыдущих, то истинность всех оставшихся заявлений не зависит от того, каким было первое утверждение. Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что оно было ложным и выпишем истинность первых одиннадцати утверждений:

  Заметим, что среди первых 10 утверждений ровно семь ложных, поэтому 11-е утверждение будет ложным. Истинность следующих утверждений не изменится, если мы будем считать процент ложных утверждений, начиная с 11-го. Действительно, если среди какого-то набора утверждений ложных более 70%, то после добавления ещё семи ложных утверждений и трёх истинных общее количество ложных останется больше 70%. Аналогично для наборов, где ложных утверждений менее 70% и ровно 70%. Таким образом, следующие 10 утверждений полностью повторят первые 10, то есть среди первых 20 утверждений ровно 14 ложных. Повторив рассуждение еще раз, получим, что истинность утверждений с 21-го по 30-е совпадает с истинностью соответствующих утверждений с 1-го по 10-е. И так далее. В конце концов мы получим 140 ложных утверждений из двухсот.

Ответ

140 заявлений.

Замечания

1. Использованное утверждение станет понятнее, если формулировать его на языке смесей: если к раствору с концентрацией более 70% добавить раствор с концентрацией ровно 70%, то получится раствор с концентрацией более 70%.

2. Идея второго решения. Заметим, что с каждым новым утверждением 70% от числа произнесенных утверждений увеличивается на 0,7. При этом, если число ложных утверждений к этому моменту было больше 70%, то количество ложных высказываний не меняется, а если меньше или равно 70%, то увеличивается на 1. Поэтому количество ложных утверждений и 70% от количества всех утверждений всегда отличаются строго меньше чем на 1. В частности, спустя 200 утверждений число ложных утверждений должно отличаться от  0,7·200 = 140  строго меньше чем на 1, а целое число такое ровно одно – 140.
Можно заметить, что второе решение применимо и в более общей ситуации. Например, если все заявления, начиная с N-го были "Среди сделанных ранее заявлений доля ложных более ^p/_q", то в какой-то момент доля ложных заявлений станет равна ^p/_q.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2015
задача
Номер	8