Задача 65433

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 10 в ряд так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих?

Решение

Например, так: 7, 1, 8, 4, 10, 6, 9, 3, 2, 5.

Ответ

Можно.

Замечания

Существуют и другие примеры. Отметим, что в любом примере на последнем месте должно стоять либо 1, либо 5. Действительно, последнее число x должно быть делителем числа  (1 + 2 + ... + 10) – x = 55 – x,  следовательно, оно должно быть делителем числа 55.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5.3