Задача 65443

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

Авторы: Пукас Ю.О., Федулкин Л.Е.

Юра записал четырёхзначное число. Лёня прибавил к первой цифре этого числа 1, ко второй 2, к третьей 3 и к четвёртой 4, а потом перемножил полученные суммы. У Лёни получилось 234. Какое число могло быть записано Юрой?

Решение

Заметим, что  234 = 2·3·3·13.  Максимальный сомножитель, полученный Лёней, мог равняться  9 + 4 = 13.  Этот сомножитель в произведении, несомненно, имелся, потому что меньшие числа на 13 не делятся, а 234 делится. Значит, последняя цифра Юриного числа – девятка. Остальные три сомножителя дают в произведении 18. Единиц среди них быть не может, так как числа с нуля не начинаются. Единственный возможный вариант
18 = 2·3·3.  Понятно, что третья цифра в этом случае 0, а для первых двух цифр возможны два варианта.

Ответ

2009 или 1109.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер	7 (2009 год)
Дата	2009-03-1
класс
Класс	7 класс
задача
Номер	7.1