Задача 65461

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Будем называть клетчатый многоугольник выдающимся, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.).

  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.
  б) При каких  n > 4  существует выдающийся многоугольник из n клеток?

Решение

  а) Например, уголок из четырёх клеток (см. рис.).

  б) Рассмотрим такой уголок из n клеток, что из двух его копий складывается прямоугольник 2×n. Из таких прямоугольников можно сложить квадрат 2n×2n, а из этих квадратов – уголок, подобный исходному с коэффициентом 2n.

Ответ

При любых.

Замечания

Баллы: 2 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1