Задача 65470

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Храбров А.

Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015.
Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем ¹/₂₀₁₆.

Решение

Покажем, что число  x ∈ (0, ¹/₂₀₁₆)  не является корнем данного многочлена P(x). Можно считать, что его свободный член положителен (иначе поделим на нужную степень х и, если нужно, на –1). Тогда  P(x) > 1 – 2015·(¹/₂₀₁₆ + ¹/_2016² + ...) = 0.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()
задача
Номер	3