|
|
 |
Условие
Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
а) h = 17 см;
б) h = 18 см?
Решение
Если арбуз распался на части, то и его поверхность распалась на части. Поэтому достаточно провести на сфере три дуги нужных размеров так, чтобы она не распалась на части. Точки пересечения пар плоскостей надрезов со сферой назовём узлами, у нас их будет шесть. Очевидно, дуги могут соединяться только в узлах.
а) Пусть плоскости трёх надрезов проходят через центр O шара. Они пересекают сферу по большим окружностям. Узлы делят каждый из них на четыре равные части. Пусть концы дуги одного разреза – A и B. Треугольник OAB – равнобедренный с боковыми сторонами 10 и высотой 7. Половина его основания равна поэтому угол AOB – тупой. Значит, надрез можно провести так, чтобы он прошел только через два узла.
Разобьём узлы на пары соседних. Тогда дуги вообще не пересекутся, значит, сфера не распадётся.
б) Пусть одна плоскость надреза проходит через центр O шара, а две другие – на расстоянии от O. Первая пересекает шар по кругу радиуса 10, две другие – по кругам радиуса
. Эти два малых круга пересекают большой круг перпендикулярными диаметрами X+X– и Y+Y– (см. рис.).
Ответ
Не обязательно.
Замечания
1. Легко проверить, что конструкция п. б) позволяет проводить надрезы даже глубиной h = 18,9 см без разделения арбуза на части. Можно показать, что при h = 19 см уже никакая конструкция не поможет – арбуз развалится.
2.Баллы: 6 + 6.
