Задача 65478

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Около единичного квадрата ABCD описана окружность, на которой выбрана точка М.
Какое наибольшее значение может принимать произведение MA·MB·MC·MD?

Решение

  Пусть М не совпадает ни с одной из вершин квадрата (иначе, значение произведения равно нулю и не может быть наибольшим) и лежит на дуге ВС, O – центр описанной окружности (см. рис.). Заметим, что  ∠АМВ = ½ ∠АОВ = 45°.  Так как  S_AMB = ½ MA·MB sin∠AMB,  то  MA·MB = ^2S_AMB/_{sin 45°}.  Аналогично  MC·MD = ^2S_CMD/_{sin 45°},  значит,  MA·MB·MC·MD = 8S_AMB· S_CMD.

  Обозначим через x расстояние от точки М до прямой АВ, тогда расстояние от М до прямой CD равно  1 – x.  Значит,  S_AMB = ½ АВ·x = ^x/₂,  а
S_CMD = ½ CD· (1 – x) = ½ (1 – x).  Таким образом,  MA·MB·MC·MD = 2x(1 – x).  Так как  0 < x < 1,  то полученное выражение принимает наибольшее значение при  x = ½.  Это значение равно ½.

Ответ

0,5.

Замечания

Искомое наибольшее значение достигается, если М – середина любой из четырёх дуг, стягиваемых сторонами квадрата.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2.2