Задача 65485
|
|
 |
Условие
У натурального числа n есть такие два различных делителя а и b, что (а – 1)(b + 2) = n – 2.
Докажите, что число 2n является квадратом натурального числа.
Решение
(а – 1)(b + 2) = n – 2 ⇔
ab – b + 2a = n. Так как n делится на a и делится на b, то и левая часть полученного равенства делится и на a, и на b. Следовательно, b делится на a, a 2а делится на b. Второе условие означает, что b ≤ 2a. Учитывая, что b ≠ a, имеем b = 2a.
Подставив этот результат в исходное равенство, получим 2а² – 2а + 2а = n, откуда 2n = 4a².
