Задача 65521

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Через точку P проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника ABC (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Решение

  Заметим, что  S_A2B2C2 = S_A2C2P + S_B2C2P + S_A2B2P,  а  S_A1B1C1 = S_A1C1P + S_B1C1P + S_A1B1P.  Докажем, что  S_A2C2P = S_A1C1P  (для других пар площадей равенство доказывается аналогично). Это можно доказать различными способами.

  Первый способ. Поскольку C₂PA₂B – трапеция, то S_A2C2P = S_BA2P.  Так как BC₁PA₂ – параллелограмм, то  S_BA2P = S_BC1P.  И, наконец, из того, что BC₁PA₁ – трапеция, получим, что  S_BC1P = S_A1C1P . Следовательно, S_A2C2P = S_A1C1P.

  Второй способ. Пусть X и Y – основания перпендикуляров, опущенных из точек A₂ и C₁ на отрезок A₁C₂. Тогда  S_C2A2P = ½ C₂P·A₂X  и
S_C1A1P = ½ PA₁·C₁Y.  Треугольники С₂С₁P и PA₂A₁ подобны (соответствующие стороны параллельны), поэтому  C₁Y : A₂X = C₂P : PA₁,  следовательно,   S_A2C2P = S_A1C1P.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6