Задача 65524

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

В квадрате ABCD точки E и F – середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G.
Что больше: площадь треугольника AGF или площадь четырёхугольника GECF?

Решение

Обозначим площадь треугольника AGF через S₁, а площадь четырёхугольника GECF через S₂ (см. рис.). Пусть площадь квадрата равна S, тогда
S₁ + S₂ + S_ABE + S_ADF = S.  Учитывая, что  S_ABE = S_ADF = ^S/₄,  получим  S₁ + S₂ = ^S/₂.  Значит,  S₁ – S₂ = (^S/₂ – S₂) – S₂ = 2(^S/₄ – S₂) = 2(S_BCF – S₂) > 0  (см. рис.). Следовательно,  S₁ > S₂.

Ответ

S_AFG > S_CEGF.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3