Задача 65573
|
|
 |
Условие
Все натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр в каждой.
Докажите, что любое семизначное число
a) встретится хотя бы на одной из полосок;
б) встретится на бесконечном числе полосок.
Решение
а) Пусть перед числом abcdefg0 в записи встретилось 7k – r цифр (0 ≤ r < 7). Тогда перед числом abcdefgr встретится (7k – r) + 8r = 7(k + r) цифр. Значит, оно начнётся сразу после разреза, и из него будет вырезана полоска с числом abcdefg .
б) Как видно из а), полоска abcdefg будет вырезаться из любого фрагмента abcdefg0abcdefg1...abcdefg6, которые встречаются бесконечное число раз в начале “длинных” чисел.
Замечания
Баллы: 3 + 1
