Задача 65585

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?

Решение

  Рассмотрим пирог в виде треугольника АВС, в котором проведены биссектрисы АМ, ВР и СK. Пусть I – точка их пересечения, а углы обозначены так, как показано на рис.

  Без ограничения общности можно считать, что Игорю достался кусок в виде треугольника BIK. Рассмотрим его углы. Заметим, что  ∠IBK = β < 90°.  Так как угол BIK – внешний для треугольника BIC, то  ∠BIK = β + γ = 90° – α < 90°.  Следовательно, прямым мог быть только угол BKI. Значит, биссектриса CK треугольника является и его высотой, поэтому треугольник АВС – равнобедренный.

Ответ

Прав.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1.2