Задача 65621

Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Существует ли многогранник, проекциями которого на три попарно перпендикулярные плоскости являются: треугольник, четырёхугольник и пятиугольник?

Решение

  Из большого количества возможных примеров приведём два, взяв за основу чертежа прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁ (см. рисунки).
  На левом рисунке – невыпуклый многогранник АВСОDA₁DM. Его проекциями на три попарно перпендикулярные грани являются треугольник АВА₁, четырёхугольник ADD₁A₁ и пятиугольник АВСОD.

  На правом рисунке – выпуклый многогранник АВLKMDDA₁D₁. Его проекциями на три попарно перпендикулярные грани являются треугольник АВА₁, четырёхугольник ADD₁A₁ и пятиугольник АВLMD.

Ответ

Существует.

Замечания

Из второго рисунка видно, что примером, удовлетворяющим условию задачи, является также прямая треугольная призма с "отпиленным" от вершины тетраэдром.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5.2