|
|
 |
Условие
Пусть M и N – середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC соответственно. Вневписанная окружность треугольника ACM касается стороны AM в точке Q, а прямой AC – в точке P. Докажите, что точки P, Q и N лежат на одной прямой.
Решение
Пусть D – центр вневписанной окружности треугольника ACM, тогда P и Q – проекции точки D на прямые AC и AB соответственно (см. рис.). Так как MN – медиана равнобедренного треугольника BMC, проведённая к основанию, то MN – биссектриса угла BMC, поэтому точка D лежит на прямой MN. Кроме того, MN – средняя линия треугольника ABC, значит, MN || AC. Таким образом, PCND – прямоугольник.
∠PAD + ∠APN = 90°, поэтому AD ⊥ PN. Поскольку точка Q симметрична точке P относительно прямой AD, то Q лежит на PN, что и требовалось.
Замечания
1. Заметим, что DN – серединный перпендикуляр к стороне BC, следовательно, ∠ABD = ∠DCM = ∠ACD (рис. слева). Отсюда следует другое решение задачи: точки A, C, B и D лежат на одной окружности, значит, точки P, Q и N лежат на прямой Симсона точки D (см. задачу 52421).
2. Решение можно получить и из задачи 115617 (это один из случаев так называемой задачи 255 – классической задачи, которая была под этим номером в задачнике 9-11 И.Ф. Шарыгина).
3. Задачу можно было решить и с помощью теоремы Менелая.
