Задача 65646

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Необычные построения (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан квадратный лист бумаги со стороной 2016. Можно ли, согнув его не более десяти раз, построить отрезок длины 1?

Решение

  Заметим, что мы можем поделить пополам любой отрезок, совместив его концы. Кроме того, можно перегнуть бумагу по прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой. Иными словами, мы умеем строить середины отрезков и перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку. Воспользуемся при решении задачи этими построениями и тем, что  2016 = 32·63.
  Перегнём квадрат ABCD по диагонали BD, а затем шесть раз по перпендикулярным ей прямым так, что эта диагональ разделится на 64 равных части. Пусть X₁ и X₂ лежат на диагонали BD, причём  BX₁ = X₁X₂ = ¹/₆₄ BD  (см. рис.).

  Пусть прямая AX₁ пересекает BC в точке Y. Тогда  BY : BC = BY : AD = BX₁ : X₁D = 1 : 63,  то есть  BY = 32.  Рассмотрев точку Z – проекцию X₂ на BC, получим, что  BZ : BC = BX₂ : BD = 1 : 32,  то есть  BZ = 63.  Поэтому, перегнув по прямым AX₁ и X₂Z, а затем по прямой, проходящей через Y и перпендикулярной BC, получим отрезок длины  2BY – BZ = 1.

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2016-04-17
класс
Класс	8-9
задача
Номер	6