Задача 65648

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Нилов Ф.

Дан правильный семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇. Прямые A₂A₃ и A₅A₆ пересекаются в точке X, а прямые A₃A₅ и A₁A₆ – в точке Y.
Докажите, что прямые A₁A₂ и XY параллельны.

Решение

  Докажем, что  ∠A₂A₁Y + ∠XYA₁ = 180°,  откуда и будет следовать утверждение задачи. Рассмотрим описанную окружность данного семиугольника (см. рис.). Поскольку четырёхугольник A₁A₂A₃A₆ – вписанный, то  ∠A₂A₁A₆ = ∠XA₃A₆.  Теперь достаточно доказать, что четырёхугольник XA₃A₆Y вписанный.

  Заметим, что ∠A₃XA₆ = ∠A₂XA₆ = ½ (⌣A₂A₁A₆ – ⌣A₃A₄A₅) = ^π/₇  и  ∠A₃YA₆ = ∠A₃YA₁ = ½ (⌣A₁A₂A₃ – ⌣A₆A₅) = ^π/₇,  то есть четырёхугольник XA₃A₆Y – вписанный.

Замечания

1. Решение можно записать короче, используя понятие антипараллельности. Действительно, отрезки A₁A₂ и A₃A₆ антипараллельны относительно прямых A₁Y и A₂X. То же самое было доказано про отрезки A₃A₆ и XY относительно тех же прямых. Из этого следует параллельность A₁A₂ и XY.

2. Утверждение задачи также следует из теоремы Паскаля, применённой к вырожденному шестиугольнику A₁A₂A₃A₅A₅A₆.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2016-04-17
класс
Класс	10-11
задача
Номер	2