|
|
 |
Условие
Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм² в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?
Решение
Пусть первоначальная площадь кожи равна S дм² (S > 0). После того, как площадь уменьшилась втрое,
а затем еще всемеро, она стала равна S/21 дм². Это число должно быть целым, иначе делением пополам и вычитанием 1 невозможно получить 0.
Рассмотрим первые 10 желаний. Среди них не может быть более одного заветного, так как после них площадь уменьшилась втрое, а S/4 < S/3. Рассмотрим два случая.
1) Заветных желаний не было. Тогда S – 10 = S/3, то есть S = 15. Но это число не кратно 7, что противоречит условию уменьшения площади в 7 раз.
2) Пусть сначала было k обычных желаний, затем – заветное, а затем – еще 9 – k обычных. Тогда ½ (S – k) – (9 – k) = S/3, откуда S = 3(18 – k). Учитывая, что k – целое число от 0 до 9, находим единственное значение k, для которого S кратно 7: k = 4. Следовательно, S = 42.
Ответ
42 дм².
Замечания
Процесс, описанный в условии, возможен. Например, сначала было загадано 4 обычных желания, и площадь уменьшилась до 38, затем одно заветное и пять обычных, тогда площадь стала равна 14, то есть уменьшилась втрое. Затем было загадано еще 12 обычных желаний, и площадь стала равна 2, то есть уменьшилась всемеро, а потом было загадано еще два обычных желания, и кожа исчезла.
