Задача 65663

Темы:    [ Шар и его части ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Восемь одинаковых шаров положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трёх верхних шаров лежат на одной прямой.

Решение

  Обозначим центры шаров и соединим их попарно так, как показано на рисунке. Имеем:  DA = DF = DG = 2r,  где r – радиус шара.

  Точки A, F, G и B лежат на окружности с центром D и радиусом 2r, поэтому AG – диаметр и угол ABG – прямой. Аналогично угол CBG – прямой. Следовательно,  ∠ABG + ∠CBG = 180°,  что и требовалось.

Замечания

Углы треугольников ЕGH и СЕН можно вычислить. Треугольник ЕGH – равносторонний, его углы равны по 60°. Значит, в треугольнике СЕН – два угла по 30° и угол 120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	7
задача
Номер	7.4.2