Задача 65719

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?

Решение

Пусть в треугольнике ABM с углами соответственно 90°, 60° и 30° высота AH и биссектриса BL пересекаются в точке K (см. рис.). Простой подсчёт углов показывает, что в треугольнике ABM сторона AM, высота AH и биссектриса BL образуют красный равносторонний треугольник AKL. Отметив теперь точку C так, чтобы M стала серединой отрезка BC, получим требуемую конструкцию.

Ответ

Мог.

Замечания

1. Конструкция единственна.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	5