|
|
 |
Условие
На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени f1 и g1, что f + g = f1 + g1 или fg = f1g1. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.
Решение
Заметим, что при замене многочленов f и g на f1 и g1 сумма коэффициентов при 36-х степенях этих многочленов не меняется. Для замены первого вида (при которой f + g = f1 + g1) это очевидно, а при замене второго вида это следует из равенства
(x37 + ax36 + ...)(x37 + bx36 + ...) = x74 + (a + b)x73 + ... Но вначале сумма всех таких коэффициентов у выписанных на доске многочленов неотрицательна, значит, она всегда будет такой. Если в конце все многочлены будут иметь по 37 корней, то по теореме Виета эта сумма равна сумме всех этих корней с обратным знаком. Следовательно, среди корней будут неположительные.
Замечания
8 баллов
