|
|
 |
Условие
В выпуклом многоугольнике, в котором нечётное число вершин, равное 2n + 1, выбирают независимо друг от друга две случайные диагонали.
Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри многоугольника.
Решение
Всего в (2n+1)-угольнике диагоналей, и, следовательно, пар диагоналей всего
Две пересекающиеся диагонали однозначно определяются выбором четырёх вершин, значит, способов выбрать две пересекающиеся диагонали
Диагонали выбираются случайным образом, поэтому все комбинации равновозможны. Значит, вероятность того, что две случайные диагонали пересекаются, равна
Ответ
Замечания
С ростом n полученная вероятность приближается к ⅓. Возникает предположение, что если взять эллипс или окружность и поставить вопрос о вероятности пересечения двух случайных хорд, ответ должен быть ⅓. К сожалению, не все так просто. Важно, как именно выбраны случайные хорды, ведь хорд у окружности бесконечно много, в отличие от диагоналей многоугольника. Можно поступить, например, так: каким-то случайным образом выберем на окружности четыре точки A, B, C и D, независимо одна от другой. Какова вероятность того, что хорды AB и CD пересекаются? Здесь ответ действительно ⅓. Можете попробовать это доказать.
