Задача 65780

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Две хоккейные команды одинаковой силы договорились, что будут играть до тех пор, пока суммарный счёт не достигнет 10.
Найдите математическое ожидание числа моментов, когда наступала ничья.

Решение

  Если 2n – максимальный суммарный счёт, то игру можно рассматривать как случайное блуждание длины 2n: на каждом шаге разрыв в счете либо увеличивается на единицу, либо уменьшается на единицу.
  Пусть I_2k – индикатор ничьей на 2k-м шаге:  
  Случайная величина X "число моментов, когда наступала ничья" равна сумме всех индикаторов. Начало игры не будем считать "наступлением ничьей". Следовательно,  X = I₂ + I₄ + ... + I_2n,  а  
  При  n = 5  получаем  EX = ²/₄ + ⁶/₁₆ + ²⁰/₆₄ + ⁷⁰/₂₅₆ + ²⁵²/₂₀₄₈ ≈ 1,707.

Ответ

≈ 1,707.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2016
тур
задача
Номер	16