ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65788
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  Преподаватель кружка по теории вероятностей откинулся в кресле и посмотрел на экран. Список записавшихся готов. Всего получилось n человек. Только они пока не по алфавиту, а в случайном порядке, в каком они приходили на занятие.
  "Надо отсортировать их в алфавитном порядке, – подумал преподаватель. – Пойду по порядку сверху вниз, и, если нужно, буду переставлять фамилию ученика вверх в подходящее место. Каждую фамилию придётся переставить не более одного раза".
  Докажите, что математическое ожидание числа фамилий, которые не придётся переставлять, равно  1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.


Решение

  Введём для каждого k индикатор Ik, который равен 1, если k-ю по списку фамилию не нужно переставлять, и 0, если нужно. Общее число фамилий, которые не надо переставлять, равно  I1 + I2 + ... In.
  Фамилию номер k не нужно переставлять, если и только если среди первых k фамилий она последняя по алфавиту. Поскольку среди этих k фамилий она с равными шансами может оказаться на любом из k мест по алфавиту, вероятность того, что она оказалась по алфавиту последней, равна 1/k. Следовательно, математическое ожидание числа не переставляемых фамилий равно  1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2016
тур
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .