Задача 65792

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Тригуб А.

В четырёхугольнике ABCD  ∠B = ∠D = 90°  и  AC = BC + DC.  Точка P на луче BD такова, что  BP = AD.
Докажите, что прямая CP параллельна биссектрисе угла ABD.

Решение

Из условия следует, что точки B и D лежат на окружности с диаметром AC. Пусть K – такая точка отрезка AC, что  AK = BC  (см. рис.). Тогда  CK = CD,  то есть  ∠CKD = ∠CDK.  Кроме того, треугольники BCP и AKD равны, поскольку  AK = BC,  AC = BP  и  ∠KAD = ∠CAD = ∠CBD = ∠CBP.  Следовательно,  ∠BCP = ∠AKP = 180° – ∠CKD = 90° + ½ ∠ACD = 90° + ½ ∠ABD,  откуда  ∠BCP + ½ ∠ABD + ∠CBP = 90° + ∠ABD + ∠CBP = 180°,  что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	4