Задача 65794

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из середины M стороны AC треугольника ABC опущены перпендикуляры MD и ME на стороны AB и BC соответственно. Около треугольников ABE и BCD описаны окружности. Докажите, что расстояние между центрами этих окружностей равно ^AC/₄.

Решение

Отрезок между центрами окружностей является диагональю параллелограмма, образованного серединными перпендикулярами к отрезкам AB, BD, BE и BC. Поэтому проекции этого отрезка на прямые AB и BC равны соответственно ^AD/₂ и ^CE/₂, то есть половинам проекций отрезка  AM = MC.  Следовательно, и сам этот отрезок равен  ^AM/₂ = ^AC/₄.

Замечания

Из решения следует также, что отрезок между центрами параллелен AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	6