Задача 65808

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Прокопенко Д.

Вписанная окружность ω треугольника ABC касается сторон BC, AC и AB в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C пересекают серединный перпендикуляр к отрезку AA₀ в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на окружности ω.

Решение

Из определения точек P, Q следует, что они лежат на описанных окружностях треугольников ABA₀ и ACA₀ соответственно. Поэтому треугольник AA₀Q подобен треугольнику B₀A₀I, а треугольник AA₀P – треугольнику C₀A₀I (по двум углам). Значит,  A₀Q·A₀B₀ = A₀I·A₀A = A₀P·A₀C₀.  Кроме того,
∠PA₀Q = ½ (∠B + ∠C) = ∠B₀A₀C₀,  поэтому треугольники A₀PQ и A₀B₀C₀ подобны (см. рис.). Следовательно, треугольники A₀B₀P и A₀C₀Q тоже подобны (по углу и двум сторонам), то есть угол между прямыми B₀P и C₀Q равен углу B₀A₀C₀, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	20