Задача 65837

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Зайцев С.А.

В клетках первого столбца таблицы n×n записаны единицы, в клетках второго – двойки, ..., в клетках n-го – числа n. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стёрли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза.

Решение 1

  Сумма чисел в k-й строке под диагональю равна  1 + 2 + ... + (k – 1) = ½ k(k – 1).  Сумма чисел в k-м столбце над диагональю вдвое больше: она равна  (k – 1)k.  Поэтому и сумма всех чисел над диагональю вдвое больше суммы под диагональю.

Решение 2

  Рассмотрим еще две таблицы:

  В обеих равны суммы по разные стороны от пустой диагонали (наборы чисел в столбцах под диагональю совпадают с наборами в строках над диагональю в правой таблице и наборами в диагоналях, параллельных пустой, – в левой). Заметим теперь, что если сложить попарно числа из соответствующих клеток над диагональю разных таблиц, получим таблицу из условия задачи.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2