Задача 65839
|
|
 |
Условие
Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:a) хотя бы один орех будет съеден;
б) все орехи не будут съедены.
Решение
a) Пусть на n-м шаге у раздающего an орехов, а у следующего bn орехов (у третьего орехов нет). Предположим, что an всегда чётно. Тогда
an+1 = bn + ½ an, bn+1 = ½ an для всех n, поэтому an+1 – 2bn+1 = (bn + ½ an) – an = – ½ (an – 2bn), то есть число |an – 2bn| на каждом шаге уменьшается вдвое. Поскольку, однако, a1 – 2b1 ≠ 0, то на каком-то шаге разность an – 2bn должна стать нецелой. Противоречие.
б) На каждом шаге число орехов уменьшается не более чем на 1. Если орехов всегда больше трёх, все доказано. В противном случае рассмотрим момент, когда впервые останется ровно три ореха. Получится обязательно позиция (2, 1) (в любой момент, кроме начального, an ≥ bn > 0). Далее она повторяется до бесконечности.
Замечания
баллы: 3 + 3
