Задача 65903

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4- Классы: 7,8

Условие

В прямоугольнике ABCD на диагонали AC отмечена точка K так, что  CK = BC.  На стороне ВС отмечена точка М так, что  КМ = СМ.
Докажите, что  АK + ВМ = СМ.

Решение

  На продолжении стороны BC за точку В отметим такую точку Е, что  BЕ = AK,  тогда  CЕ = СB + BЕ = СK + KА = СА  (см. рис.).

  Треугольники ЕKC и ABC равны по двум сторонам и общему углу между ними. Следовательно,  ∠ЕKC = ∠ABC = 90°.  Пусть  ∠KCM = ∠MKC = α,  тогда  ∠MKE = 90° – α = ∠MEK,  значит,  МЕ = MK = МС.  Таким образом,  АK + ВМ = ВЕ + ВМ = МЕ = СМ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2016
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5