|
|
 |
Условие
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?
Решение
Так как 44² < 2016 < 45², то натуральных чисел, квадраты которых не больше чем 2016, всего 44. Произведение двух точных квадратов является точным квадратом, поэтому числа 1 = 1², 4 = 2², ..., 1936 = 44² могут быть отмечены.
Докажем, что большее количество чисел отметить невозможно. Действительно, рассмотрим искомый набор чисел и разделим каждое из чисел этого набора на наибольший точный квадрат, на который оно делится. Получим новый набор чисел, причём в разложение каждого из получившихся чисел на простые множители эти множители входят только в первой степени. Заметим, что каждый простой множитель (если он есть) должен присутствовать во всех разложениях, так как при перемножении любых двух чисел полученного набора он должен оказаться в чётной степени. Это означает, что после деления каждого числа искомого набора на наибольшие квадраты должно получиться одно и то же число q. Если q = 1, то получим набор из 44 чисел, которые сами являются точными квадратами (см. выше), а если q > 1, то получим набор из меньшего количества чисел, поскольку 1936q > 2016.
Ответ
44 числа.
