|
|
 |
Условие
Квадрат разрезали на n прямоугольников размером ai×bi, i = 1, ..., n.
При каком наименьшем n в наборе {a1, b1, ..., an, bn} все числа могут оказаться различными?
Решение
Покажем сначала, что никакой прямоугольник (в частности, квадрат) нельзя разрезать ни на два, ни на три, ни на четыре прямоугольника с различными сторонами.
Очевидно, что если прямоугольник разрезан на два прямоугольника, то у них есть общая сторона.
Пусть прямоугольник разрезан на три прямоугольника. Тогда один из них содержит две вершины исходного прямоугольника (так как три прямоугольника должны накрыть все четыре вершины исходного), и мы свели задачу к предыдущему случаю (оставшаяся часть – прямоугольник, который необходимо разбить на два).
Наконец, допустим, что прямоугольник разрезан на четыре других. Имеем две возможности – либо один из прямоугольников разбиения содержит две вершины исходного (и мы сводим задачу к разрезанию прямоугольника на три части), либо каждый из прямоугольников разбиения содержит по одной вершине исходного.
В последнем случае рассмотрим два прямоугольника, содержащие верхние вершины. Они должны соприкасаться (если бы был «зазор» между ними, то его нельзя было бы покрыть двумя прямоугольниками, содержащими остальные две вершины исходного). Пусть высота правого прямоугольника больше. Тогда левый нижний прямоугольник имеет общую сторону с левым верхним (см. рис.).
Ответ
При n = 5.
