Задача 65934

Темы:    [ Четырехугольники (построения) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Движение помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник АВС и две прямые l₁, l₂. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l₁, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l₂, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.

Решение

  Пусть CР – диаметр описанной окружности треугольника ЕСF. Когда D двигается по АВ с постоянной скоростью, точки E и F, двигаются с постоянными скоростями по прямым АC и ВC. Поэтому и точка P (поскольку  PE ⊥ AC  и  PF ⊥ BC)  двигается с постоянной скоростью, то есть по прямой.

  Следовательно, середина O отрезка СР, являющаяся центром указанной окружности, также двигается по прямой. Значит, все эти окружности проходят через точку Q, симметричную С относительно этой прямой, то есть содержат общую хорду СQ.   Поскольку на хорду EF опирается постоянный угол С, то её длина будет минимальной при минимальном радиусе описанной окружности треугольника СEF. Cреди всех окружностей, содержащих общую хорду, минимальный радиус будет иметь та из них, для которой эта хорда CQ является диаметром. Отсюда вытекает следующий способ построения точки D.
  Проведём через А прямую, параллельную l₂, и найдём точку U её пересечения с ВС. Через В проведём прямую, параллельную l₁, и найдём точку V её пересечения с АС. Пусть Q – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников ACU и BCV, Е – вторая точка пересечения окружности с диаметром CQ и прямой АС. Тогда прямая, проходящая через Е параллельно l₁, пересекает АВ в искомой точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	13