|
|
 |
Условие
Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С, обозначив меньшую через S1, среднюю – S2, а большую – S3. Докажите, что где S – площадь треугольника А1В1С1.
Решение
Не ограничивая общности, будем считать, что площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С соответственно равны S1, S2 и S3.
Первый способ. Расположим в вершинах A, B и C такие массы a, b и c, что точка Р – центр тяжести полученной системы материальных точек. Можно считать, что a + b + c = 1. Обозначим через А2 точку пересечения В1С1 и АА1. Поскольку треугольники АВ1С1 и А1В1С1 имеют общее основание, то S1 : S = AA2 : A2A1.
(b + c)A1 расположен на прямой АА1, а системы (a + b)C1 и (a + c)B1 – на прямой В1С1). Отсюда AA2/A1A2 = b+c/2a = 1–a/2a.
Аналогично S2/S = a+c/2b = 1–b/2b и S3/S = 1–c/2c. Поскольку S1 ≤ S2 ≤ S3, отсюда следует, что 1/2a ≤ 1/2b ≤ 1/2c или a ≥ b ≥ c.
Значит, (b + c)(a + c) ≤ 2b·2a = 4ab, то есть S1S2 ≤ S². Точно так же доказывается, что S² ≤ S2S3.
Второй способ. Теорема Мёбиуса. Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА, АВ, а площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С и А1В1С1 равны S1, S2, S3 и S соответственно. Тогда S³ + (S1 + S2 + S3)S² – 4S1S2S3 = 0.
(Это несложно доказать, используя найденные в первом способе отношения площадей.)
Рассмотрим функцию Ф(x) = x³ + (S1 + S2 + S3)x² – 4S1S2S3. По теореме Мёбиуса Ф(S) = 0. Кроме того, Ф(x) возрастает на (0, +∞). Поэтому достаточно показать, что при условии S1 ≤ S2 ≤ S3.
Действительно, поскольку выражение в скобке очевидно неположительно.
Аналогично
