|
|
 |
Условие
Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна – это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Она может перемещаться прыжками через Луну и Землю: из старого места (точки А) она моментально появляется в новом (в точке A') так, что в середине отрезка АA' находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.
а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.
б) Докажите, что летающая тарелка, используя неограниченное количество прыжков, может допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты за любой промежуток времени, например, за секунду.
Решение
a) Два раза прыгнем относительно Луны, сначала в момент, когда Луна находится в точке L1, а второй раз – когда Луна в точке L2. После двух прыжков летающая тарелка переместится на вектор (Композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос на удвоенный вектор с началом в первом центре и концом во втором).
Для любых двух точек внутри орбиты X и Y можно найти такую хорду L1L2, что =
Эту хорду можно построить, проведя диаметр, параллельный прямой XY, и отложив на нём отрезок длиной ½ XY, середина которого совпадает с центром окружности, а затем проведя из концов этого отрезка перпендикуляры, которые отсекут искомую хорду (рис. слева).
Таким образом, из любой точки внутри лунной орбиты можно допрыгнуть до любой другой точки внутри лунной орбиты за два прыжка.
б) Пусть начальное положение Луны – L0, конечное – L1. Будем рассматривать пару прыжков сначала относительно Земли (точка Z), а потом относительно Луны как двойной прыжок. При этом тарелка перемещается на вектор конец этого вектора – точка T – будет лежать на дуге окружности t0t1 с центром в Z и радиусом, вдвое большим радиуса орбиты Луны. Будем такие векторы в дальнейшем обозначать просто T.
Мы прыгаем мгновенно, значит, в любой момент времени мы можем прыгнуть на целое число прыжков kT (чтобы прыгнуть на вектор – T, сначала надо прыгнуть относительно Луны, а потом относительно Земли).
Чтобы из точки X попасть в точку Y, надо представить вектор как конечную сумму векторов, состоящих из слагаемых вида kiTi, ki ∈ Z, а Ti – некоторые точки на дуге t0t1, расположенные последовательно друг за другом.
Сначала представим в виде суммы v1 + v2, так чтобы оба этих вектора были бы перпендикулярны некоторым радиусам нашего сектора. Это можно сделать, положив v1 = λ(t1 – t0), v2 =
– v1. Поскольку v1 перпендикулярен "серединному" радиусу при всех значениях λ и при увеличении λ по модулю v2 стремится к – v1, то при достаточно большом λ v2 также будет перпендикулярен некоторому радиусу.
Очевидно, что найдутся достаточно большие по модулю целые m1 и m2 и такие точки T1, T2, T3, T4, расположенные последовательно, что
v1 = m1(T2 – T1) и v2 = m2(T4 – T3). Искомое представление получено.
Ответ
а) За два прыжка.
