Задача 65941
|
|
 |
Условие
Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Докажите, что описанная сфера тетраэдра ABCD целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.
Решение
Пусть R, r – радиусы описанной и вписанной сфер тетраэдра ABCD, О – центр его описанной сферы, L – центр описанной окружности треугольника АВС, Н – проекция I на плоскость АВС. Из условия следует, что О и D' лежат на перпендикуляре к плоскости АВС, проходящем через L, поэтому прямые DO' и IH параллельны (рис. слева). Кроме того, D'A = D'I (как радиусы описанной сферы тетраэдра IABC), OA = R, IH = r.
Отсюда R² – OI² = 2D'O·|D'A cos∠AD'O – D'I cos∠ID'O| = 2D'O·IH.
Следовательно, D'O = 1/2r (R² – OI²).
Аналогично доказывается, что и точки A', B', C' удалены от О на такое же расстояние.
Таким образом, описанные сферы тетраэдров ABCD и A'B'C'D' концентричны и D'O – радиус описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.
Докажем, что D'O > R ⇔ 1/2R (R² – OI²) > r. Для этого проведём плоскость DOI. Она пересекает описанную и вписанную сферу по окружностям с центрами O, I и радиусами R, r, а тетраэдр – по некоторому треугольнику. Вершина D этого треугольника лежит на большей окружности, а из двух других вершин по крайней мере одна лежит внутри этой окружности. Кроме того, меньшая окружность целиком лежит внутри этого треугольника и внутри большей окружности. Поэтому, если провести через D хорды DX1 и DY1 большей окружности, касающейся меньшей, то меньшая окружность окажется строго внутри треугольника DX1Y1. Будем "раздувать" меньшую окружность, сохраняя центр и увеличивая радиус (рис. справа). Из соображений непрерывности следует, что наступит момент, когда "раздутая" окружность (некоторого радиуса r') будет вписана в треугольник DX'Y', образованный парой касательных с вершиной в D.
Этот же треугольник будет вписан в большую окружность, поэтому для него выполняется формула Эйлера: OI² = R² – 2Rr'.
Следовательно, r < r' = 1/2R (R² – OI²).
