Задача 65943

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Босс В.

К граням тетраэдра восстановлены перпендикуляры в их точках пересечения медиан.
Докажите, что проекции трёх перпендикуляров на четвёртую грань пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть АВСD – данный тетраэдр, A', B', C', D' – точки пересечения медиан граней BCD, CDA, DAB, ABC. Грани тетраэдра A', B', C', D' параллельны соответственным граням исходного тетраэдра. Так, например, плоскость ABC параллельна плоскости A'B'C' и т.д.

  Действительно, пусть точки P и Q – середины рёбер АС и АВ. Так как точка пересечения делит медианы в отношении  2 : 1,  то по обратной теореме Фалеса  B'С' || PQ.  Но   PQ || BC  как средняя линия, следовательно,  B'С' || BC.  Точно так же  A'С' || AC,  и по признаку параллельности двух плоскостей грани параллельны.

  Поэтому перпендикуляры, восстановленные из точек A', B', C', D'  к соответствующим граням АВСD, являются высотами тетраэдра A'B'C'D'.
  По теореме о трёх перпендикулярах их проекции на плоскость грани являются высотами этой грани и, значит, пересекаются в одной точке. Следовательно, их проекции на параллельную плоскость АВС также пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	22