|
|
 |
Условие
На столе лежит прямоугольный лист бумаги. Саша разрезает его по прямой на две части и кладёт части на стол. Потом он берёт одну из частей, снова режет по прямой на две части и кладёт части обратно на стол. Потом снова берёт со стола и разрезает одну часть, и так далее. Какое наименьшее количество разрезов необходимо сделать Саше, чтобы на столе оказалось, по крайней мере, 252 одиннадцатиугольника?
Решение
Заметим, что после одного разреза общее количество вершин увеличивается на две (если разрез проходит через две вершины), на три (если разрез проходит через вершину и точку внутри стороны) или на четыре (если разрез проходит через внутренние точки двух сторон). Пусть было сделано k разрезов, после чего получилось k + 1 частей, в которых суммарно не более чем 4k + 4 вершины.
Предположим, что среди полученных частей есть 252 одиннадцатиугольника. Каждый из оставшихся кусков будет иметь не менее трёх вершин, а всего вершин будет не меньше чем 11·252 + 3(k + 1 – 252) = 2772 + 3k – 753 = 3k + 2019 ≤ 4k + 4. Следовательно, k ≥ 2015.
Покажем, что 2015 разрезов достаточно. Например, сначала разрежем исходный прямоугольник на 252 прямоугольника (251 разрез). Теперь, чтобы получить 252 одиннадцатиугольника, достаточно от каждого прямоугольника семь раз отрезать по треугольнику, увеличивая каждый раз количество вершин на одну. Для этого потребуется еще 7·252 = 1764 разреза. Всего получим 251 + 1764 = 2015 разрезов.
Ответ
2015 разрезов.
Замечания
9 баллов
