Задача 65970

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Дано 10 натуральных чисел. Из десяти всевозможных сумм по девять чисел всего девять различных: 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95.
Найдите исходные числа.

Решение

  Рассмотрим сумму десяти возможных сумм по 9 чисел. Так как каждое из исходных чисел входит в эту сумму 9 раз, то она делится на 9. Сумма девяти сумм, заданных в условии, равна 813, то есть даёт остаток 3 при делении на 9. Следовательно, неизвестная сумма при делении на 9 даёт остаток 6. Из девяти заданных сумм этому условию удовлетворяет только 87, значит, сумма десяти исходных чисел равна  (813 + 87) : 9 = 100.
  Вычитая из числа 100 заданные суммы и учитывая, что 87 повторится дважды, получим ответ.

Ответ

5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 13, 14.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5.3