Задача 65987

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Число 1047 при делении на A дает остаток 23, а при делении на  A + 1  – остаток 7. Найдите A.

Решение

Так как 1047 даёт остаток 23 при делении на А, то  1047 – 23 = 1024  делится на А. Аналогично  1047 – 7 = 1040  делится на  А + 1.  Так как  1024 = 2¹⁰,  то  А = 2ⁿ,  где n – натуральное и  n ≤ 10.  При этом  А > 23,  поэтому  n ≥ 5.  Из чисел  2⁵ + 1,  2⁶ + 1,  2⁷ + 1,  2⁸ + 1,  2⁹ + 1,  2¹⁰ + 1  только  2⁶ + 1 = 65  является делителем числа 1040. Следовательно,  А = 2⁶.

Ответ

64.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2.3